.
a --
x, b -- y. , ,
x a
y (, , y b
x).
t, .
-- ,
, axdx=bydy,
ax2-by2=const.
x y
, (. 1).
, .
|
. 1.
|
.
( 1 . 1),
y. , x
( ). y ,
.
( 2),
x. ( )
.
: ,
.
:
,
-- . . (
).
, ,
.
-- , .
, a b ,
, , x y.
.
.
,
,
a b.
-- , ( a b
).
: a b
(x, y)
( ),
.
,
"x " "y "
"
".
,
(x,y) a b:
(. 2).
|
. 2.
|
.
, , . 3.
,
, a b
(, , -- ).
|
. 3.
|
,
: .
:
,
a b -- .
"
, "
,
4 , , ( a
b).
( ,
, -- --
).
,
,
.
=kx
( ). ,
, (. . ) x
. (, ),
, 1700-1950 (, ,
) (. 4).
,
.
|
. 4. . |
, ( )
, (
;
).
(, , ):
,
k . ,
x (, . .)
k,
=k(x)x
=ax-bx2,
, =x-x2.
x t
a b 1. , ,
, , (
) a b
( x)
k(x). ,
, .
|
. 5.
. |
. 5 k(x)x,
A B.
1
x.
. A B :
.
A B ( ),
B -- ( ).
.
. A,
, . x
( 1/2 )
( . 5 ): x
B.
6 . (
) 16-20 .
. , , x --
. ,
c:
=x-x2-c.
,
, c.
c= 1/4,
=x-k(x)x-c
(
k(x)x).
|
|
|
. 6.
(), () () . |
x
t . 6. c ,
( , c =0)
.
,
A: , ,
, ,
.
o c
x ,
.
-- , ,
: ,
, .
, .
, A
B, . . x
.
, ,
, , -,
.
"". ,
. ( ) 100
. ( 50
, ). , c
( )
, (, )
(
).
,
c
x. c,
(
c1/4).
c= 1/4,
,
c = 1/4
(
,
1/4).
. 6 ,
"" , c= 1/4.
x > 1/2,
A=B = 1/2. , ,
. x
.
,
( ,
-- )
- .
,
, , , .
, ,
. ,
( , . .)
(c=const),
:
c=kx,
k
(" ") .
|
. 7.
. |
(. 7)
=x-x2-kx.
k<1
B, .
"" c =kx ,
y=kx y = x-x2,
. . k = 1/2. k
"" c= 1/4
. , ,
k
( x=B
).
,
k= 1/2 (
c),
"".
, (. .
,
) ,
.
( ).
, (,
, )
.
,
,
( ) ,
, .
=ax-cxy,
=
-bx+dxy.
x
-- , y -- ( , x
-- , y -- ). a
, b
-- , .
,
(xy). ,
( -cxy dxy
).
|
. 8.
-. |
()
, (A . 8),
(B)
, ,
B.
=ax-cxy+f(x,y),
=
-bx+dxy+g(x,y),
<<1,
(, ,
). (
B), -,
. f g ,
, 1-3 . 9 ( ).
|
|
|
. 9.
. |
2 "
". .
,
( , ,
).
x y, :
, . . .
3
A
C ( , ,
).
-,
.
A A,
-, (
) .
(, ).
:
( ).
-
, 1-3 ( )
, (
f g ).
, .
. , ,
, .
, ,
.
, ,
.
- x
,
:
=y.
,
,
, :
=z.
,
z ,
. . ( n).
:
( ), .
, X x
, x
, -- .
, n
= 3
x(n)= -k(x-X).
()
. (x= X,
y= z= ... = 0) ,
A
n=
-k.
|
. 10.
. |
-- , . 10.
n-. n > 3,
() (Re >0).
n =1 =-k
, n= 2 1,2=
.
. ,
n>3, .
,
, - .
,
, .
,
,
, n= 2:
, ,
,
.
, -,
,
,
""
. (
)
.
,
,
("") .
,
,
, .
,
, ,
, 1
(. 11).
|
. 11.
. |
:
1.
.
.
2.
.
3. ,
,
.
.
4.
, ,
, ,
, .
5. ,
,
.
,
, , ,
.
6. , ,
,
,
.
.
.
,
: ,
.
"
"2.
--
,
.
--
.
, .
1
-- :
, .
2
, , , ,
.
2n
6 , .
. ( , ,
, ,
).
( ,
-, ,
, , ).
2n
(n = 0, 1, 2,...):
1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,...
.
( ),
{nx} nx, x ,
0 1. ( a
-- {a} = a - [a] a [a],
a).
|
. 12.
. |
,
1 , (. 12),
, ,
( ).
lg2n=nlg2,
x= lg2 ,
{lg2n} 0 1. ,
2n, i,
pi lg i lg(i + 1).
2n
( ):
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
100pi |
30 |
17 |
12 |
10 |
8 |
7 |
6 |
5 |
5 |
, p1=lg2
0,30103...,
6 .
(, 3n).
, , 10n, ()n,
10p/q, p q
.
.
,
: , .
. ,
. , .
,
.
. " "
:
, .
( --
,
, ,
.
,
.)
, .
.
, ,
. ,
, , ,
(
, , ).
. .
, ,
, 1.
, -, ,
-- :
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
100pi |
29 |
21 |
10 |
11 |
6 |
6 |
8 |
3 |
6 |
, , ,
(, i)
lg20,3...
(, lg(i+1)-lg i).
( . .
. 1997 ) ,
. ,
, ( xk
xl) 1/2
( xk+xl),
.
, , xk=k,
.
pxk (1-p)xk
(, ,...),
--
.
, (
, -- ).
(
, , ).
, ,
-, , ,
--
.
, , --
, ,
. ,
(, ,
).
1
, , --
, ,
( , ,
, . .)
"No
star wars --- no mathematics", -- .
, (?)
, , ,
,
"" 1,
.
(
)
-
.
,
.
, , .
,
-
.
( ) . ,
, --
,
.
-- .
.
--
.
.
( ),
. ( computer science),
,
.
- ( -
).
2:
: 1) -, . .
,
;
, , .
, , , ; 2)
, . ,
, ,
...
-, ,
-, -,
, -
"".
,
. .
, , ,
, -- ,
. "-"
,
. ( "
" ).
- ,
( ),
.
.
.
- .
(, , , ,
, , --
-.
, ,
.
III, , .
, , ,
, , .
( ).
, (,
), -.
" ", --
.
, (
).
.
, (- ,
1905 ), ,
,
: , ,
...
,
- (""),
, "-"
( )
.
(,
, ) 3:
--
, , .
,
4:
, , ,
, , , ,
.
:
, , (
10-15) (
) , , (
) .
.
( Windows
95).
,
,
"-"
.
.
1
.
( 1997 . - )
.
2.
. . , . 3, . 5.
3.
. . - . , . , 1904, 113 ., . 5.
4V. Pareto. Anwendung der
Mathematik auf Nationalokonimie. Encyclopedie
der Mathematischen Wissenschaften, Band I, Heft 7, S. 1114