Международный Институт XXI Века

�Высшая Математика�

2-й поток

Преподаватели: В.А.Гордин, И.И.Шнейберг

Программа

2-й семкстр

Программа

1. Кванторы. Примеры высказываний, записанные в кванторах. Отрицание высказываний.
2. Алгебра логики. Основные функции от одного и двух высказываний. Таблица истинности. Выражение одних функции через другие.
3. Множества и отображения. Пересечение и объединение множеств. Прямая (декартова) сумма множеств. Подмножество и дополнение к нему. Множество всех подмножеств данного множества. Теорема Кантора (без док.).
4. Образ и прообраз при отображении. Взаимнооднозначное отображение. Множество всех отображений из X в Y. Примеры.
5. Алгебраическая операция. Группа � ее аксиомы. Единственность нулевого и обратного элементов группы. Группы правильных многогранников.
6. Перестановки, их количество и их групповые свойства. Некоммутативность этой группы и подгрупп многогранников.
7. Транспозиции и инверсии. Четность перестановки. При умножении перестановок четности складываются.
8. Бесконечные множества. Множества одинаковой мощности. Счетное множество. Примеры. Множество рациональных чисел счетно. Решето Эратосфена � доказательство счетности множества простых чисел.
9. Произведение многочленов. Формула свертки для коэффициентов. Треугольник Паскаля и формула бинома Ньютона. Сумма и альтернированная сумма биномиальных коэффициентов.
10. Метод математической индукции. Суммы: первых n натуральных чисел, квадратов, кубов.
11. Вещественные числа как бесконечные десятичные (или двоичные) дроби. Доказательство иррациональности .
12. Сумма геометрической прогрессии. Представление рациональных чисел в виде десятичных дробей. Представление рациональных чисел в виде двоичных дробей.
13. Комплексные числа и операции над ними. Модуль и аргумент. Умножение на число, с модулем 1. Алгебраическая и экспоненциальная формы. Сопряженное число. Геометрический смысл умножения и деления на комплексное число.
14. Формулы Эйлера и Муавра.  Выражение тригонометрических функций через экспоненты с комплексными показателями.
15. Тригонометрические формулы как следствие формул для экспоненты. Многочлены Чебышёва. Их поведение на отрезке [-1,1].
16. Основная теорема алгебры. Деление многочлена на многочлен с остатком � алгоритм Евклида. Теорема Безу. Кратные корни. Усиленная теорема алгебры.

16. Теорема Виета. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами встречаются попарно � вместе с сопряженным. Пример � квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.
17. Матрицы. Примеры матриц: матрица графа дорог между городами; матрица графа дорог между фабриками и стройками; матрица расстояний между пунктами; матрица курсов валют. Условие нейтральности матрицы курсов валют.
18. Определитель матрицы порядка n и его основные свойства.
19. Формула Лапласа для разложения определителя по строке или столбцу. По группе строк (без док.).
20. Правило Крамера. Вырожденные и невырожденные матрицы. Миноры. Ранг матрицы.
21. Определитель Вандермонда.
22. Произведение матриц. Определитель произведения матриц.
23. Обратная матрица и ее определитель.
24. Линейное пространство и его аксиомы. Единственность нуля и обратного вектора. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов пространства.
25. Базис и размерность пространства. Примеры конечномерных и бесконечномерных пространств. Всякую систему линейно независимых векторов можно дополнить до базиса. Координаты вектора в данном базисе.
26. Линейная независимость столбцов квадратной матрицы � условие разрешимости системы линейных алгебраических уравнений при произвольной правой части. Разрешимость при некоторых правых частях, когда столбцы линейно зависимы.
27. Преобразование координат данного вектора при переходе к другому базису.
28. Полиномиальная интерполяция в одномерном случае.
29. Интерполяционная формула Лагранжа и соответствующий базис в пространстве многочленов.
30. Основная лемма линейной алгебры.
31. Подпространство, пересечение подпространств, прямая сумма. Прямая сумма подпространств симметричных и кососимметричных матриц. Всякое подпространство конечномерного пространства может быть дополнено. Гиперподпространство и полупространство.
32. Линейная оболочка системы векторов. Плоскость. Пересечение плоскостей. Оценка размерности пересечения. Интерпретация на языке линейных алгебраических уравнений.
33. Линейные формы (функционалы). Задание подпространств и плоскостей с помощью линейных форм. Множество линейных форм над линейным пространством также образует линейное пространство. Размерность сопряженного пространства.
34. Линейные уравнения и неравенства. Задачи о сплавах. Выпуклое множество и выпуклая оболочка множества. Примеры.

48. Линейные операторы. Определение, примеры в конечномерном и функциональном пространствах. Ядро и образ линейного оператора.

35. Алгебра линейных операторов. Произведению операторов соответствует произведение матриц.
36. Взаимно однозначное отображение между пространствами матриц и линейных операторов при заданном базисе. Размерность пространства операторов равна .
37. Интерпретация системы линейных уравнений в терминах линейных операторов.

49. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.
50. Ранг матрицы и его геометрическая интерпретация в терминах размерности ядра и образа оператора.
51. Собственные функции и вектора линейного оператора. Примеры.
52. Характеристический многочлен. Простой и кратный спектр.
53. Собственный базис оператора в линейном пространстве над полем комплексных чисел.
54. Обратный оператор и его матрица.
55. Построение изолиний функций двух переменных. Примеры.
56. Стационарные точки гладкой функции. Градиент и матрица Гессе. Невырожденные стационарные точки: максимум, минимум, седло. Изолинии в окрестности этих точек.
57. Метод Герона. Метод Ньютона поиска корней гладкой функции одного переменного.
58. Транспортная задача и другие примеры задач линейного программирования.
59. Образ и ядро линейного оператора. Интерпретация в терминах систем линейных алгебраических уравнений. Эквивалентность определений ранга матрицы.
60. Собственные числа и вектора линейного оператора. Характеристическое уравнение.
61. Доказательство существования предела последовательности .
62. Производная многочлена и логарифма.

63. Доказательство замечательных пределов:    

63. Производная тригонометрических функций.
64. Вычисление расстояния от точки до прямой, заданной линейным уравнением, на плоскости.
65. Метод наименьших квадратов � простейшие варианты.
66. Симметричные и кососимметричные матрицы. Лемма: всякую квадратную числовую матрицу можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц и притом единственным образом. Всякую функцию на прямой можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.
67. Билинейные формы. Матрица, соответствующая билинейной форме в данном базисе.
68. Симметричные и кососимметричные билинейные формы; квадратичные формы.
69. Положительно-определенные и строго положительно-определенные симметричные билинейные формы. Примеры и контрпримеры. Евклидово пространство.
70. Неравенство Коши � Буняковского.
71. Угол между векторами линейного евклидова пространства. Ортогональные вектора. Угол между коллинеарными векторами.
72. Ортогонализация системы линейно независимых векторов.
73. Коэффициенты разложения вектора по ортогональному базису.
74. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о перпендикуляре вариант 1 доказательства.
75. Теорема о перпендикуляре вариант 2 доказательства.
76. Теорема о перпендикуляре вариант 3 доказательства.
77. Расстояние от точки до плоскости, заданной линейным уравнением.
78. Соответствие между векторами и линейными функциями в евклидовом пространстве. Уравнения порождают . Линейная зависимость уравнений.
79. Выпуклость. Выпуклая оболочка. Стандартный симплекс. Пересечение выпуклых множеств выпукло. Множество положительно определенных билинейных форм выпукло.
80. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Инерция квадратичных форм (без док).
81. Скалярное произведение в пространстве функций. Ортогональность функций на сетке. Примеры.
82. Матрица Грама, и ортогональное проектирование на неортогональный базис.
83. Приведение оператора с простым спектром к диагональному виду (в собственном базисе).
84. Функции от оператора. Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
85. Матрица Лесли. Возможности и недостатки модели. Смысл собственных чисел этой матрицы.
86. Последовательность Фибоначчи и другие линейные конечно-разностные уравнения.
87. Предел последовательности. Определение, примеры и контр-примеры. Монотонно растущая, ограниченная сверху последовательность имеет предел.
88. Предел суммы, произведения и отношения последовательностей.
89. Метрическое пространство. Примеры. Сходимость последовательности элементов метрического пространства.
90. Непрерывность числовых функций непрерывного аргумента. Непрерывность отображений метрических пространств. Примеры и контр-примеры.
91. Сумма, произведение и отношение непрерывных функций. Суперпозиция непрерывных функций.
92. Теорема Ферма.
93. Теорема Ролля.
94. Теорема Лагранжа.
95. Теорема Коши.

23.6.2005

3-й семестр

1. Теорема Гершгорина.
2. Константа Лебега � мера усиления амплитуды шумов при полиномиальной интерполяции. Определение константы Лебега. Недопустимость больших степеней интерполяционных многочленов на равномерной сетке. Чебышевские сетки.
3. Теорема Вейерштрасса (без док-ва).
4. Интерполяция Эрмита.
5. Сплайны. Дефект и степень сплайна. Примеры. Сплайны Шонберга. Базисные сплайны. Уравнения для вычисления параметров сплайна Шонберга. Граничные условия. Невырожденность соответствующей матрицы. Сходимость сплайнов Шонберга к гладким функциям (без док-ва).
6. Метод прогонки. Преимущества метода. Применение для нахождения параметров сплайна.
7. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции и теорема Ферма.
8. Теорема Ролля и теорема Лагранжа.
9. Теорема Коши.
10. Многочлен Тейлора и остаточный член в форме Лагранжа. Примеры.
11. Правило Лопиталя и его возможные варианты. Примеры.
12. Аппроксимация Паде.
13. Ряд Тейлора для нескольких переменных.
14. Вторые частные смешанные производные. Лемма Шварца.
15. Пример функции двух переменных имеющей различные смешанные производные.

Градиент функции. Направления наибыстрейшего спуска и подъема. Физическая

интерпретация. Изоповерхности. Линейная и нелинейная функции. Поведение

функции в окрестности нестационарной точки.

15. Теорема о неявной функции � простейший случай.

16. k уравнений в n-мерном пространстве. Линейный и нелинейный случаи. Матрица Якоби. Условие невырожденности системы уравнений (n-k)-мерная поверхность. Теорема о неявной функции в общем случае. Примеры. Достаточное условие, для того чтобы первые k координат могли быть выражены из уравнений через остальные переменные.
17. Стационарная точка функции. Матрица Гессе, гессиан, условие невырожденности. Лемма Морса (без док.).
18. Суперпозиция отображений и произведение матриц Якоби.
19. Локальные координаты. Полярные и сферические координаты и их сингулярности. Непрерывные и гладкие функции в этих координатах.
20. Условный экстремум. Множители Лагранжа. Примеры.
21. Неопределенный интеграл (первообразная). Примеры: ,
22. Определенный интеграл. Суммы Дарбу. СД для функций
23. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций. Примеры - для функций

15. Формула Симпсона. Порядок аппроксимации и скорость сходимости квадратурных формул.
16. Квадратурные формулы порядка n. Чебышевские формулы (без док.).
17. Многочлены Лежандра: формулы для младших степеней и общая формула.
18. Гауссовы квадратурные формулы.
19. Формула Ньютона-Лейбница.
20. Замена переменной в интеграле, основанная на формуле дифференцирования сложной функции. Примеры применения.
21. Формула интегрирования по частям. Примеры применения.
22. Разложение правильной рациональной функции на простейшие. Интегрирование

      рациональных функций. Примеры.

21. Интегрирование функций , где f � рациональная функция. Примеры.

22. Интегрирование функций, содержащих простейшие радикалы.
23. Интегрирование функций вида , где R � рациональная функция; случай, когда радикал приводится к виду .
24. Интегрирование функций вида , где R � рациональная функция; случай, когда радикал приводится к виду .
25. Интегрирование функций вида , где R � рациональная функция; случай, когда радикал приводится к виду .
26. Интегралы, зависящие от параметра. Примеры.
27. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Интеграл в смысле главного значения. Примеры.
28. Двойные и повторные интегралы. Изменения порядка интегрирования в  повторном интеграле. Примеры.
29. Замена переменных в многомерном интеграле. Интегрирование в полярных координатах.
30. Вычисление длин, площадей и объемов.
31. Потенциальная энергия подъема тела в космос и время вытекания воды из воронки.
32. Лемма Стокса (без док.)
33. Решение неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
34. Дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случаи простых и кратных корней.
35. Дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и система уравнений первого порядка.
36. Нормированные линейные пространства. Норма порождает метрику. Скалярное произведение порождает норму.
37. Примеры норм в конечномерном пространстве и в пространстве функций.
38. Операторная норма. Примеры в конечномерных пространствах.
39. Операторы Фредгольма и Вольтерра. Оценка нормы.
40. Сжимающие операторы и неподвижная точка.
41. Краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка � численное решение.
42. Метод Рунге-Кутты численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.
43. Согласование данных о функции и производной.
44. Остаточный член ряда Тейлора в интегральной форме.
45. Метод градиентного спуска. Выбор шага.
46. Метод Ньютона в случае многих переменных.
47. Ряд Тейлора для функции многих переменных.
48. Ряды: условная и абсолютная сходимость.
49. Ряд  расходится, а ряд  сходится.

56. Ряды функций. Равномерная сходимость.

57. Инвариантные подпространства. Специфика простейшего вида линейного

      оператора для поля вещественных чисел.

59. Самосопряженные операторы, их спектр и ортогональный собственный базис.

60. Ортогональные и унитарные операторы. Примеры.

61. Нормальные операторы. Ортогональность собственного базиса н.о.

62. Общие собственные вектора коммутирующих операторов.

63. Теорема Жордана (без док.)

64. Связь линейных операторов и билинейных форм в евклидовом пространстве.

65. Экстремальные свойства собственных значений симметричных форм.

66. Критерий Сильвестра.

67. Экстремальные свойства естественных ортогональных составляющих распределения плотности в.

68. Определение преобразования Фурье. Элементарные свойства. Формула обращения ПФ.

69. Теорема Планшереля.

70. Символы дифференциальных и разностных операторов. Примеры.

Список литературы по курсу

1. Бахвалов Н.С. �Численные методы� - любое издание.
2. Гельфанд И.М. �Лекции по линейной алгебре� - любое издание.
3. Гордин В.А. �Как это посчитать?�, 2005, М., МЦНМО.
4. Чен К., Джилбин П., Ирвинг А. �МАТLAB в математических исследованиях�, М., �Мир�, 2001.
5. Шилов Г.Е. �Математический анализ� - любое издание.
6. Фихтенгольц Г.Е. �Курс дифференциального и интегрального исчисления� - любое издание.