Международный Институт XXI Века

�Высшая Математика�

Преподаватели: В.А.Гордин, И.И.Шнейберг

Программа

1-й семестр

1. Кванторы. Примеры записи высказываний с помощью кванторов. Функции и отображения. Область определения и область значения. Обратная функция.

Примеры функции нескольких переменных. Функции со значениями на окружности (направление ветра).

2. Рациональные и вещественные числа � определение через десятичные дроби.  - иррациональное число. Периодичность десятичной дроби, начиная с некоторого места, � необходимое и достаточное условие рациональности числа.

3. Показательные функции и логарифмы. Графики. Простейшие формулы для этих функций.

4. Сходимость числовых последовательностей � определение, примеры и контр-примеры.

5. Определение производной. Примеры дифференцируемых и не дифференцируемых функций. Производная суммы и отношения. Формула Лейбница.

6. Из дифференцируемости функции следует ее непрерывность, а обратное утверждение неверно.

7. Доказательство существования предела последовательности .

8. Производная многочлена и логарифма.

9. Системы линейных неравенств и уравнений. Задачи о сплавах.

10. Определение комплексных чисел. Операции с комплексными числами: сложение, умножение, сопряжение, деление.

11. Основная теорема алгебры (без док.).

12. Модуль и аргумент комплексного числа. Умножение на комплексное число как линейный оператор поворота плоскости. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Удобность умножения комплексных чисел .

13. Формулы тригонометрии как следствие алгебры комплексных чисел.

Формула Муавра

14. Многочлены Чебышева.

15. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Сумма и альтернированная сумма биномиальных коэффициентов.

16. Формулы суммы арифметической и геометрической прогрессий.

17. Сумма квадратов первых n чисел.

18. Сумма кубов первых n чисел.

19. Доказательство замечательных пределов:    

20. Порядок бесконечно малой величины. Приближенная формула  при .

21. Доказательство формулы

22. Производная сложной функции

23. Равенство нулю производной � необходимое (но не достаточное) условие локального максимума или минимума функции во внутренней точке отрезка, на котором эта функция дифференцируема.

24. Теорема Ролля.

25. Теорема Лагранжа. Физическая интерпретация.

26. Сложение и умножение многочленов. Формула свертки для вычисления коэффициентов произведения.

27. Деление многочлена на многочлен с остатком.

28. Лемма Безу.

29. Усиление основной теоремы алгебры � всякий многочлен может быть разложен в произведение многочленов первого порядка.

30. Теорема Виета. Примеры.

31. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами встречаются попарно � вместе с сопряженным. Пример � квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

32. Построение окружности на плоскости по трем точкам.

33. Вычисление расстояния от точки до прямой, заданной линейным уравнением, на плоскости.

34. Метод наименьших квадратов � простейшие варианты.

35. Взаимно-однозначные отображения. Перестановки. Транспозиции. Число инверсий. Транспозиция меняет четность перестановки.

36. Группы � аксиомы и простейшие примеры.

37. Стандартное n-мерное пространство � пример коммутативной группы по сложению.

38. Линейное пространство � коммутативная группа с умножением на скаляры. Примеры линейного пространства: стандартное пространство; пространство многочленов степени не выше данной; пространство непрерывных функций на отрезке.

39. Линейная зависимость и независимость векторов; примеры.

40. Системы линейных алгебраических уравнений � интерпретация разрешимости в терминах линейной зависимости и независимости векторов � столбцов матрицы.

41. Производная обратной функции. Пример: .

42. Матрицы. Примеры матриц: матрица графа дорог между городами; матрица графа дорог между фабриками и стройками; матрица расстояний между пунктами; матрица курсов валют. Условие нейтральности матрицы курсов валют.

43. Симметричные и кососимметричные матрицы. Лемма: всякую квадратную числовую матрицу можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц и притом единственным образом.

44. Всякую функцию на прямой можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

45. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

46. Подпространства � определение и примеры. Линейная оболочка системы векторов.

47. Систему линейно-независимых векторов можно расширить � ее линейная оболочка не есть все линейное пространство. Базис � максимальная система линейно независимых векторов.

48. Всякий вектор в пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

49. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода.

50. Циклоида и ее свойства.

51. Производная показательной функции. Решение дифференциального уравнения . Различные интерпретации уравнения.

52.Линейные формы. Подпространство, задаваемое нетривиальной линейной формой. Гиперподпространство. Гиперплоскость. Полупространство. Примеры.

53. Билинейные формы. Матрица, соответствующая билинейной форме в данном базисе.

54. Симметричные и кососимметричные билинейные формы; квадратичные формы.

55. Производная функции заданной неявно. Условие существования. Примеры.

56. Сопряженное пространство. Сопряженный базис сопряженного пространства.

57. Положительно-определенные и строго положительно-определенные симметричные билинейные формы. Примеры и контрпримеры. Евклидово пространство.

58. Неравенство Коши � Буняковского.

59. Неравенство КБ для сумм и интегралов.

60. Угол между векторами линейного евклидова пространства. Ортогональные вектора. Угол между коллинеарными векторами.

61. Ортогонализация системы линейно независимых векторов.

62. Коэффициенты разложения вектора по ортогональному базису.

63. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о перпендикуляре вариант 1 доказательства.

64. Теорема о перпендикуляре вариант 2 доказательства.

65. Теорема о перпендикуляре вариант 3 доказательства.

66. Расстояние от точки до плоскости, заданной линейным уравнением.

67. Соответствие между векторами и линейными функциями в евклидовом пространстве. Уравнения порождают . Линейная зависимость уравнений.

68. Простейшая транспортная задача.

69. Выпуклость. Выпуклая оболочка. Стандартный симплекс. Пересечение выпуклых множеств выпукло. Множество положительно определенных билинейных форм выпукло.

70. Определитель матрицы порядка n и его основные свойства.

71. Формула Лапласа для разложения определителя по строке или столбцу.

72. Вырожденные и невырожденные матрицы. Миноры. Ранг матрицы. Правило Крамера

73. Определитель Ван дер-Монда.

74. Полиномиальная интерполяция.

75. Интерполяционная формула Лагранжа и соответствующий базис в пространстве многочленов.

76. Произведение матриц. Определитель произведения матриц.

77. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

78. Инерция квадратичных форм.

79. Скалярное произведение в пространстве функций.

80. Ортогональность функций на сетке. Примеры.

81. Метод наименьших квадратов.

82. Матрица Грама, и ортогональное проектирование на неортогональный базис.

83. Разложение симметричной строго положительно определенной матрицы в произведение треугольных � метод квадратного корня решения систем уравнений с с.п.o. матрицей.

84. Аппроксимация, контроль и восстановление числовых данных методом наименьших квадратов.

85. Линейные операторы. Определение, примеры в конечномерном и функциональном пространствах. Ядро и образ линейного оператора.

86. Матрица оператора. Переход к новому базису. Произведение операторов и произведение матриц.

87. Ранг матрицы и его геометрическая интерпретация.

88. Собственные функции и вектора линейного оператора. Примеры.

89. Характеристический многочлен. Простой и кратный спектр.

90. Собственный базис оператора в линейном пространстве над полем комплексных чисел.

91. Обратный оператор и его матрица.

92. Норма оператора. Связь с наибольшим по модулю собственным числом оператора.

93. Теорема Гершгорина.

94. Преобразование матрицы оператора при переходе к другому базису.

95. Приведение оператора с простым спектром к диагональному виду (в собственном базисе)

96. Норма линейного оператора. Соотношение между нормой оператора и его собственными числами.

97. Функции от оператора. Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

98. Системы диф. ур., описывающие размножение, войну и оба эти процесса одновременно.

99. Матрица Лесли. Возможности и недостатки модели.

100. Непрерывные функции одного и нескольких переменных. Метрика.

101. Дифференциал функции нескольких переменных.

102. Теорема Коши.

103. Правило Лопиталя.

104. Формулы для приближенного вычисления производных. Составление и решение систем линейных алгебраических уравнений для таких формул. Порядок аппроксимации.

Программа

2-й семестр

1. Вторые частные смешанные производные. Лемма Шварца.
2. Пример функции двух переменных имеющей различные смешанные производные.

Градиент функции. Направления наибыстрейшего спуска и подъема. Физическая

интерпретация. Изоповерхности. Линейная и нелинейная функции. Поведение

функции в окрестности нестационарной точки.

3. k уравнений в n-мерном пространстве. Линейный и нелинейный случаи. Матрица Якоби. Условие невырожденности системы уравнений (n-k)-мерная поверхность. Теорема о неявной функции. Примеры. Достаточное условие, для того чтобы первые k координат могли быть выражены из уравнений через остальные переменные.
4. Стационарная точка функции. Матрица Гессе, гессиан, условие невырожденности. Лемма Морса (без док.).
5. Построение изолиний функций двух переменных. Примеры.

6. Суперпозиция отображений и произведение матриц Якоби.
7. Локальные координаты. Полярные и сферические координаты и их сингулярности. Непрерывные и гладкие функции в этих координатах.
8. Условный экстремум. Множители Лагранжа. Примеры.
9. Неопределенный интеграл (первообразная). Примеры: ,
10. Определенный интеграл. Суммы Дарбу. СД для функций
11. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций. Примеры - для функций

15. Формула Симпсона. Порядок аппроксимации и скорость сходимости квадратурных формул.
16. Квадратурные формулы порядка n. Чебышевские формулы (без док.).
17. Многочлены Лежандра: формулы для младших степеней и общая формула.
18. Гауссовы квадратурные формулы.
19. Формула Ньютона-Лейбница.
20. Замена переменной в интеграле, основанная на формуле дифференцирования сложной функции. Примеры применения.
21. Формула интегрирования по частям. Примеры применения.
22. Разложение правильной рациональной функции на простейшие. Интегрирование

      рациональных функций. Примеры.

21. Интегрирование функций , где f � рациональная функция. Примеры.

22. Интегрирование функций, содержащих простейшие радикалы.
23. Интегрирование функций вида , где R � рациональная функция; случай, когда радикал приводится к виду .
24. Интегрирование функций вида , где R � рациональная функция; случай, когда радикал приводится к виду .
25. Интегрирование функций вида , где R � рациональная функция; случай, когда радикал приводится к виду .
26. Интегралы, зависящие от параметра. Примеры.
27. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Интеграл в смысле главного значения. Примеры.
28. Двойные и повторные интегралы. Изменения порядка интегрирования в  повторном интеграле. Примеры.
29. Замена переменных в многомерном интеграле. Интегрирование в полярных координатах.
30. Вычисление длин, площадей и объемов.
31. Потенциальная энергия подъема тела в космос и время вытекания воды из воронки.
32. Лемма Стокса (без док.)
33. Решение неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
34. Дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случаи простых и кратных корней.
35. Дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и система уравнений первого порядка.
36. Нормированные линейные пространства. Норма порождает метрику. Скалярное произведение порождает норму.
37. Примеры норм в конечномерном пространстве и в пространстве функций.
38. Операторная норма. Примеры в конечномерных пространствах.
39. Рост погрешности при интерполяции и константа Лебега.
40. Операторы Фредгольма и Вольтерра. Оценка нормы.
41. Сжимающие операторы и неподвижная точка.
42. Интерполяция Эрмита.
43. Кубические сплайны. Примеры граничных условий. Оценка спектра матрицы.
44. Прогонка. Периодическая прогонка.
45. Краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка � численное решение.
46. Метод Рунге-Кутты численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.
47. Согласование данных о функции и производной.
48. Аппроксимация Паде. Примеры.
49. Остаточный член ряда Тейлора в интегральной форме.
50. Метод градиентного спуска. Выбор шага.
51. Метод Ньютона поиска корней гладкой функции одного (вещественного или комплексного) переменного. Метод Герона � частный случай. Результаты для квадратного и кубического уравнений.
52. Метод Ньютона в случае многих переменных.
53. Ряд Тейлора для функции многих переменных.
54.  
55. Ряды: условная и абсолютная сходимость.
56. Ряд  расходится, а ряд  сходится.

56. Ряды функций. Равномерная сходимость.

57. Ряд Тейлора.

58. Инвариантные подпространства. Специфика простейшего вида линейного

      оператора для поля вещественных чисел.

59. Самосопряженные операторы, их спектр и ортогональный собственный базис.

60. Ортогональные и унитарные операторы. Примеры.

61. Нормальные операторы. Ортогональность собственного базиса н.о.

62. Общие собственные вектора коммутирующих операторов.

63. Теорема Жордана (без док.)

64. Связь линейных операторов и билинейных форм в евклидовом пространстве.

65. Экстремальные свойства собственных значений симметричных форм.

66. Критерий Сильвестра.

67. Экстремальные свойства естественных ортогональных составляющих распределения плотности в.

68. Преобразование Фурье. Элементарные свойства. Формула обращения ПФ.

69. Теорема Планшереля.

Программа

3-й семестр

1. Простейшие дифференциальные уравнения: модель Мальтуса, непрерывное нарастание процента, радиоактивный распад. Решение простейших уравнений.
2. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: разрешимость (неразрешимость) относительно старшей производной, автономность (автономность), линейность (нелинейность) уравнений и систем. Общие свойства. Теорема существования решения задачи Коши в малом (без док.). Примеры несуществования глобального решения.
3. Общее решение однородного и неоднородного линейного диф. уравнения и системы. Примеры.
4. Уравнения с постоянными коэффициентами. Сведение уравнения высокого  порядка к системе первого порядка и обратно. Характеристический многочлен. Общее решение однородного уравнения в случае простых корней характеристического многочлена.
5. Общее решение неоднородного уравнения в случае простых корней характеристического многочлена, когда правая часть многочлен, экспонента, синус. Явление резонанса.
6. Общее решение однородного уравнения в случае кратных корней характеристического многочлена.
7. Общее решение неоднородного уравнения в случае кратных корней характеристического многочлена, когда в правой части экспонента или синус. Простые и резонансные случаи.
8. Уравнения химической кинетики. Первый интеграл. Варианты окончания процесса в зависимости от начальных данных.
9. Метод разделения переменных для решения уравнения  и для уравнения . Примеры.
10. Вывод  уравнения неразрывности движения сплошной среды. Простейшие варианты его дискретизации. Начальные и граничные условия. Решение типа бегущей волны для случая постоянного потока.
11. Метод интегрирования автономного дифференциального уравнения второго порядка . Уравнение идеального маятника. Фазовый портрет. Колебательный и вращательный режимы.
12. Маятник с линейным трением. Линейный и нелинейный варианты. Фазовый портрет. Анализ режимов затухания колебаний в зависимости от коэффициента трения. Вынужденные колебания маятника.
13. Вывод и решение уравнения трактрисы.
14. Уравнение фон Берталанфи. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным.
15. Уравнение Гомпертца. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным.
16. Уравнение трения каната о бревно. Вывод и точное решение. Формула Эйлера.
17. Система уравнений Лотки - Вольтерра для хищников и жертв. Первый интеграл. Фазовый портрет. Стационарное решение. Период малых колебаний. Устойчивость малых колебаний. Сравнение с экспериментальными данными.
18. Качественное исследование поведения линейной системы в окрестности стационарной точки. Устойчивость, асимптотическая устойчивость и неустойчивость.
19. Теорема Ляпунова.
20. Логистическое уравнение. Устойчивая и неустойчивая стационарная точки. Возможные границы отлова. Жесткая и мягкая модели. Опасность оптимизации в жесткой модели. Гибкие планы отлова.
21. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с помощью рядов Тейлора. Примеры.
22. Уравнение Бесселя и построения ряда Тейлора для функции Бесселя нулевого индекса.
23. Разностные методы решения дифференциального уравнения: метод Эйлера, неявные методы, методы Рунге � Кутты. Метод Рунге � Кутты 4-го порядка (без вывода).
24. Конечно-разностные уравнения, линейные и нелинейные. Модель Фибоначчи. Различные начальные условия. Однородные и неоднородные линейные уравнения.
25. Конечно-разностные уравнения - случай постоянных коэффициентов: характеристический многочлен с простыми или кратными корнями.
26. Нелинейные конечно-разностные уравнения. Пример � схема Эйлера для логистического уравнения. Динамика Ферхюльста.
27. Модель Лотки - Вольтерра для динамики численности конкурирующих за ресурс видов. Качественное исследование
28. Потеря устойчивости стационарного решения для динамики Ферхюльста в пользу периодического решения с периодом 2. Потеря устойчивости этого периодического решения в пользу периодического с периодом 4.
29. Режим с переключениями на примере пружинного маятника с трением о стол. Определение числа колебаний.
30. Дифференциальное уравнение рекламной кампании. Постановка задачи оптимизации затрат на рекламу.
31. Уравнение Кортевега � де Вриса. Решение типа уединенной волны.
32. Простейшие задачи вариационного исчисления. Примеры.
33. Линейные функционалы. Неограниченность линейных функционалов. Первая вариация гладкого нелинейного функционала. Равенство нулю первой вариации необходимое, но не достаточное условие минимума функционала.
34. Вывод уравнения Эйлера.
35. Вывод уравнения для брахистохроны.
36. -------�------------------- катеноида. Возможность негладких минимумов.
37. Понижение порядка дифференциального уравнения Эйлера в случае, когда интегранд не зависит явно от независимой переменной.
38. Условный экстремум. Правило множителей Лагранжа.
39. Задача Дидоны.
40. Уравнение цепной линии.
41. Условия трансверсальности. Вывод и примеры.
42. Уравнение Эйлера для квадратичных функционалов.
43. Рефракция. Уравнения распространения лучей на плоскости.
44. Гамильтоновы системы двух дифференциальных уравнений: проверка гамильтоновости, вычисление гамильтониана, интерпретация изолиний гамильтониана и его стационарных точек. Примеры.
45. Минимизация интегральных функционалов от нескольких функций.
46. Минимизация интегральных функционалов, содержащих старшие производные неизвестной функции.
47. Минимизация квадратичных функционалов при линейных ограничениях.
48. Минимизация квадратичных функционалов при квадратичном ограничении.
49. Прямая, наименее (наиболее) удаленная от заданного набора из N векторов   n-мерном пространстве.  То же для  k-мерного подпространства. Эмпирические ортогональные вектора. Применение для понижения размерности в статистических моделях.
50. Уравнение, описывающее волну в канале (без вывода). Решение типа бегущей волны.
51. Задачи на минимакс. Построение линейной функции наименее удаленной от заданной.
52. Вторая вариация для нахождения минимума интегрального функционала. Достаточные условия ее положительности.
53. Слабое условие и теорема Лежандра.
54. Сильное условие Лежандра и уравнение Риккати. Возможность ухода решения на бесконечность.
55. Уравнение Якоби. Сопряженные точки для второй вариации показывают, на каком интервале функционал положительно определен.
56. Минимизация квадратичных функционалов и собственные функции.
57. Приведение уравнения второго порядка к самосопряженному виду. Простота спектра задачи Дирихле для уравнения второго порядка.
58. Леммы о собственных числах и функциях: ортогональность собственных функций и ограниченность спектра снизу.
59. Решение уравнения струны на отрезке методом Фурье. Начальные и граничные условия. Физическая интерпретация.
60. Решение уравнения диффузии (теплопроводности) на отрезке методом Фурье. Начальные и граничные условия. Физическая интерпретация.
61. Интегральное преобразование Фурье. Формула обращения (без док.). Теорема Планшереля (без док.).
62. Преобразование Фурье от ступенчатой функции и от . Собственная функция преобразования Фурье.
63. Символы дифференциальных и разностных операторов с постоянными коэффициентами.
64. Уравнение теплопроводности на всей прямой с начальным условием .
65. Метод динамического программирования � задача оптимального распределения фондов между фирмами.

Программа         

4-й семестр

1. Равновероятные события. Примеры. Построение гистограмм для числовых величин. Роза ветров. Вычисление средних величин и стандартных отклонений. Свойства вероятности событий (объединение, пересечение, дополнение).
2. Испытания Бернулли и соответствующие распределения вероятностей. Гипергеометрическое распределение вероятностей.
3. Распределение одинаковых предметов по ящикам с ограничением их емкости и без. Производящие функции.
4. Оценка вероятностей в задаче Пейпаса.
5. Вычисление вероятностей в задаче Бюффона.
6. Испытания с возвращениями.
7. Среднее и ско распределения Пуассона.
8. Оценка моментов нормального (гауссовского) распределения.
9. Оценка моментов многомерного нормального (гауссовского) распределения.
10. Предельный переход биномиального распределения в пуассоновское.
11. Предельный переход биномиального распределения в гауссовское.
12. Распределение вероятностей при одномерном случайном блуждании (игра двух партнеров) на луче.
13. Распределение вероятностей при одномерном случайном блуждании на отрезке. Варианты граничных условий.
14. Среднее время достижения результата при случайном блуждании на отрезке и луче.
15. Условная вероятность и ее свойства. Примеры вычисления.
16. Зависимые и независимые случайные величины. Формула Байеса и примеры ее применения.
17. Детерминированные функции случайной величины. Плотность вероятности таких величин. Совместное распределение вероятностей случайных величин. Оценка ковариации и корреляции.
18. Пространство элементарных событий. Вероятностная мера. Математическое ожидание числовых случайных величин, центрирование и высшие моменты скалярных и векторных случайных величин. Вычисление интегралов по вероятностной мере и по плотности вероятностей. Независимые случайные события.
19. Дисперсия как квадрат модуля в пространстве случайных величин; ковариация как скалярное произведение, корреляция � косинус угла. Неотрицательная определенность матрицы Грама. Проверка ковариационной и корреляционной матриц.
20. Случайные величины с нулевой дисперсией детерминированы с вероятностью 1. Вырожденные ковариационные матрицы.
21. Наилучшая линейная оценка случайной величины � регрессионный анализ.
22. Зависимость и линейная зависимость числовых случайных величин.
23. Регрессионный анализ при наличии шумов.
24. Эмпирические функции (главные компоненты) векторной случайной величины и их практические применения.
25. Неравенство Чебышева и его следствия.
26. Сходимость последовательности случайных величин по вероятности.
27. Сходимость случайных величин в среднем и соотношение между этой сходимостью и сходимостью по вероятности.
28. Теория игр. Игры с нулевой суммой. Смешанные стратегии. Оптимизация смешанных стратегий по принципу минимального ущерба при умном противнике. Пример игры с двумя состояниями для двух игроков.
29. Игры с большим числом исходов и с большим числом игроков. Различные цели в игре.
30. Закон больших чисел. Испытания Бернулли. Центральная предельная теорема.
31. Марковские цепи. Примеры.
32. Марковские процессы. Примеры.
33. Уравнения Колмогорова для матриц перехода марковских процессов и для вероятностей. Примеры.
34. Стационарные процессы. Корреляционная функция стационарного процесса. Интерполяция и экстраполяция случайного процесса. Оценка погрешности.
35. Статистическое описание броуновского движения. Рост дисперсии со временем. Гладкость и длина типичной траектории частицы.
36. Проверка статистических гипотез о математическом ожидании.
37. Пуассоновские процессы. Оценка параметра в эксперименте Резерфорда.
38. Диффузионные процессы. Оценка декремента для затухания отклонений от стационарного распределения вероятностей.
39. Теория массового обслуживания. Формулы Эрланга (без док.).